求数列通项的特征根法

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在上一篇文章中提到过数列二阶线性递推的特征根法，这篇文章来详细介绍一下。

其实，高中就有这个内容，别不承认，在选修4-1中。我一个高中同学就经常和我提，但我一窍不通。可能我上的假高中。好了，进入正题。

二阶线性递推求通项

推导

已知数列的前两项和递推公式，求数列的通项。

怎么开始呢，我们可以使用待定系数法构造公比为的等比数列

设：

移项，合并同类项：

根据递推公式可得：

好，下面重点来了，根据韦达定理反推解为a,b的方程：

嗯，这就是特征方程，是不是有点像解二阶线性常系数齐次微分方程用到的特征方程？

那么，这个方程接出来之后有什么用呢？

我们根据和的关系列出了方程，两个根因该就是的值，也就是说，我们可以认为是已知的常量。

好现在回到那个我们构造的等比数列，根据等比数列常用的求通项方法：累乘法，可得：

但是，请注意，这里的和分别对应特征方程的两个解，可是哪个对应哪个呢？

答案是两种都有可能，咳咳，不信你们直接解关于ab的方程，肯定有两组解

总之，和对调，还有一个方程：

联立(1)(2)解得：

注意，这里的和是常数，因此，我们下次使用时不需要这么麻烦的硬解，而是根据这里推出的解的样子再次使用待定系数法

设通项为：

代入：

解出：

总结

已知数列的前两项和递推公式，求数列的通项。

1. 解特征方程

   

   得出和

2. 设通项为并代入解出：

   

3. 写出通项。

例子：斐波那契数列

已知数列的前两项和递推公式，求数列的通项。

解特征方程：

设通项为：

代入：

解得：

因此：

这个公式非常神奇，虽然看起来令人头皮发麻，但算出来居然每一项都是整数！

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2
3
4
5
6
7

from math import *

def f(n):
    return (((1+sqrt(5))/2)**n-((1-sqrt(5))/2)**n)/sqrt(5)

for i in range(1, 15):
    print(f(i))