向量代数与空间解析几何

本文列出了三维向量和空间解析几何常用公式。

空间向量

方向角

$$\alpha=\frac{a_x}{|a|}=\frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$$ $$\beta=\frac{a_y}{|a|}=\frac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$$ $$\gamma=\frac{a_z}{|a|}=\frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$$

四点共面

$$\left|\begin{array}{} x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1 \\ x_3-x_2 y_3-y_2 z_3-z_2 \\ x_4-x_3 y_4-y_3 z_4-z_3 \end{array}\right|=0$$

混合积

$$[\boldsymbol{abc}]=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}$$

三向量共面

$$[\boldsymbol{abc}] = 0$$

斜四棱柱体积

$$V=[\boldsymbol{abc}]$$

空间平面

点法式方程

过一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 且以 $\vec n=\{A,B,C\}$ 为法向量的平面 $\pi$ 的方程

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

一般方程

记 $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$ ，得：

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)+D=0$$

截距式方程

记 $a=-\frac{D}{A}$ ， $b=-\frac{D}{B}$ ， $c=-\frac{D}{C}$ ，得

$$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}+\frac{x}{c}=0$$

二面角

$$\cos\theta=\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

点到直线的距离

$$d=\frac{|n\cdot\overrightarrow{M_0M_1}|}{|n|}=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

平面束方程

$$\lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_2)+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$$

空间直线

一般方程

$$\left\{ \begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_2=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array} \right.$$

点方向式方程&对称式方程

过 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 且方向向量为 $s=\{m,n,p\}$ 的直线

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

参数方程

$$\left\{ \begin{array}{l} x=mt+x_0 \\ y=nt+y_0 \\ z=pt+z_0 \end{array} \right.$$

线线角

$$\cos\varphi=\frac{|s_1\cdot s_2|}{|s_1||s_2|}=\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$$

线面角

$$\sin\varphi=\frac{|s\cdot n|}{|s||n|}=\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{m^2+n^2+p^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

空间曲面

柱面

例如以平行于 $z$ 轴的动直线为母线，以 $\Gamma$ 为准线的柱面，其中 $\Gamma\left\{\begin{array}{l}f(x,y)=0\\z=0\end{array}\right.$ ，则柱面方程为：

$$f(x,y)=0$$

旋转曲面

例如以 $z$ 轴为轴， $f(y,z)=0$ 为母线的旋转曲面，令 $y=\pm\sqrt{x^2+y^2}$ ，曲面方程：

$$f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$$

二次曲面

椭球面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{y^2}{c^2}=1 ,(a>0,b>0,c>0)$$

椭圆抛物面

$$\newcommand{\sign}[1]{\mathrm{sign}(#1)} \\ \frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z ,(\sign p=\sign q)$$

双曲抛物面

$$\newcommand{\sign}[1]{\mathrm{sign}(#1)} \\ -\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z ,(\sign p=\sign q)$$

单叶双曲线

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{c^2}=1 ,(a>0,b>0,c>0)$$

双叶双曲线

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{c^2}=-1 ,(a>0,b>0,c>0)$$